一発逆転？（前篇）

はい、今回は非常に退屈なお話をさせていただくことになる。まず、最初に言い訳しておきたいことが1つ。それは私がこれから数学に関することを説明するのですが、あくまでも私は素人だということ。数学者とは違い、素人の部外者。それなりの知識はありますが、数学者が100とすれば、私は3だということです。数学者からすれば「は？」と思われることもあるでしょう。ぜひ嘲笑してほしい。それがきっかけで少しでも数学に興味を持ってくれれば、幸いです（が、正直言って私がこれからお話する内容は先程も述べたとおりに非常につまらないです。又、これがきっかけで興味を持つなんて期待なんてあまりしてません。暇つぶし程度に読んでください）又、私犯罪者は文章を書くのが下手です。わかりにくい所があると思いますが、どうかお許し、、いや、、そんなことはどうでもいい。さっさと内容に入ろう。

学術論文には大抵要約が書かれていることが多い。要約とは何か？そう聞かれたら「ググレ」こう答えるのがいいだろう。要約というものは、忙しい人にとってはありがたいものであろう。内容をざっくりと掴むことが出来るからだ。だが、要約は所詮要約、情報の密度が高すぎ、根拠がよく分からんといったものである。要約は、本文を読む前、読んだ後にわけて読むのがいいのではないかと思う。理解が深まると思うからだ。さて、私も要約を書こう。なんていう面倒くさいことは嫌いだ。必要であれば誰かが要約をしてくれるだろう。

一発逆転、極めて劣勢な状況を一気に覆して逆転させる。ショー、、なんとか空に、、とかいう（題名は忘れた）映画は一発逆転のストーリーといえるだろう。実際こうした大逆転劇はどのくらいの確率で起こり得るものなのだろうか。それを知るために確率論において大切な、乱数について解説してみよう。まずコインを投げて表が出たら1、裏が出たら0として、0と1の列を作ってみましょう。こんな感じになります。

1010011011001010100110011110010010001011110000

0と1が出る比率は、ちょうど半々です。さらにそれまでの0と1の並び方、次に0と1、どちらかになるか、の間には何の関係もないという状態です。こうした乱数を理想の乱数と言います。乱数という概念は、とても数学的です。というのは、理想的な＝あるべき乱数の数があらかじめ決まっているからです。

質の良い真性乱数発生器、これは暗号技術で認証のために乱数が必要であり、高速に品質の良い乱数を作ることが出来、認証の安全性が高くなるものと言われている。（今では原子や電子などミクロ世界を説明する「量子力学」を計算理論に応用した夢の超高速計算機が実用化されるという）乱数発生器よは、文字通り0と1の数の乱数の列を作り出す装置である。又、真性の乱数というのは抵抗の両端の電圧や、クロックの微妙なゆらぎを利用して作られます。通常、コンピュータが使われている乱数は疑似乱数といいます。擬似乱数は本物の乱数に見える数字の列を一定の規則に従って作ったものなのです。類似乱数は規則が明らかになってしまうと、、、大変ですよね？その解決策が真性乱数発生器であります。自然のゆらぎは規則が分からないので、予測できない。これが長所です。

さて、質の良い乱数とはどういうことかを説明しよう。乱数の善悪を判断するためには、具体的には2つのチェックポイントがあります。1つは、0と1が半々に出てくるということ。これを一様性といいます。実際に真性乱数発生器を使うと、出力の0と1を数え、半々に近いかどうかで一様性を調べることがあります。もうひとつは、出力の独立性です。0の後に1が出やすいとか、1の後は010という数字が続くことが多い。というようなパターンがあると、乱数としてあまり質のよいものとはみなされません。

さて、この一様性と独立性を調べるためには、さまざまなテストがあります。そのひとつがランダムウォークテストです。これは酔っ払いの足取りのようなもので、最もシンプルなのは、直線上をふらふらと動く点として記述されます。実際にランダムウォークは酔歩や乱歩ともいわれます。

さて、このランダムウォークを使って乱数のテストをしてみましょう。真性乱数発生器から出力された0と1の並びにしたがって点を数直線の上でランダムウォークさせ、そのし軌跡を観察するのです。1が出たらプラス、0ならマイナス、というふうにして、コマを進めていくことにしましょう。もし、一様な乱数であればちょうど50％の確率でプラス、50％の確率でマイナスに進むことになります。また独立な乱数であれば、プラスへ行ったあとはマイナスに戻る確率が高くなる、というようにそれまでの動きが次の動きに影響することは起こらないはずです。その軌跡が理想的なランダムウォークの持つ性質をどのくらい満たしているのかを調べれば、乱数発生器の出力の01列の質がわかるだろう、ということです。

と今回はここまでにしておきます。この続きは次回また書きます。ただ、書かない可能性もあります。理由は単純。面倒。ただそれだけ。気が乗ったら書くし、気が乗らなかったら書きません。

※本文に対するツッコミを待ってます。