球の体積の公式を重積分で導出してみる

xyz座標で原点を中心とする半径1の円を考えます。対称性を利用して球のうち0≦x, y, zの領域に存在する部分の体積V₁を求め、最後に8倍します。球面の方程式はx²+y²+z²＝１, すなわちz=√(1-x²-y²)です。底面はx²+y²≦1, すなわち0≦x≦√(1-y²)∧0≦y≦1と表されるので

V₁=∫[0≦y≦1]∫[0≦x≦√(1-y²)]√(1-x²-y²)dxdy

座標変換x=rcosθ, y=rsinθを行うと、ヤコビアンJはrとなるのでdxdy=rdrdθとなります。よって

V₁=∫[0≦θ≦π/2]∫[0≦r≦1]r√(1-r²)drdθ

=∫[0≦θ≦π/2]dθ・∫[0≦r≦1]r√(1-r²)dr

＝π/2・1/3

=π/6

求める体積Vは

V=8V₁

=８・π/6

=4π/3

半径rの球の体積V(r)は、球の相似性から

V(r)=4πr³/3