整数問題bot解いてみた#1

(主は頭が悪いので間違えてるかも)

【問題】

[11]pを整数とする。x²−px−1＝0の異なる2解をα,βとおく。このとき全ての正の奇数nにおいて(αⁿ−βⁿ)/(α−β)は２つの整数の二乗和で表せることを示せ(2013年第一回駿台全国模試4、易)

【解答】

方程式x^2 - px - 1 = 0の２解を

α,β(α≠β)

と置く。解と係数の関係より

α+β=p, αβ=-1

が成り立つ。問題の数列を

U_n = (α^n - β^n) / (α - β) (n ≥ 0)

と定義すると、以下がただちに従う.

U_0 = 0, U_1 = 1

α^(n+2) - β^(n+2) = (α+β)(α^(n+1) - β^(n+1))- (αβ)(α^n - β^n)

より

U_(n+2) = p U_(n+1) + U_n (n ≥ 0)

これは U_n がすべて整数であることも示している.

M = ((p, 1), (1, 0))

を考える.帰納法で

M^n= ((U_(n+1), U_n), (U_n, U_(n-1))) (n ≥ 0)

が成り立つことを示す.

（n=0は自明、n→n+1も漸化式を使えばOK）

正の整数 k に対し

M^(2k+1)=M^kM^(k+1)

と表せる.

左辺の右上成分はU_(2k+1)、右辺の右上成分は行列積計算より

U_(k+1)^2+U_k^2

となる.したがって

[U_(2k+1)=U_(k+1)^2+U_k^2](k≥0)

が得られる.

n を任意の正の奇数とおくとn=2k+1と表せる.上の恒等式によって

(α^n-β^n)/(α - β)

= U_n = U_(2k+1) = U_(k+1)^2 + U_k^2

が成立.右辺は２つの整数U_(k+1),U_kのそれぞれの二乗和である.

よって

(α^n-β^n)/(α-β)

は任意の正の奇数nについて「２つの整数の二乗の和」として表せることが証明された.

【感想】

なんとなくカッシーニに似てる

大数評価だったらBかな？知らんけど