命題「お前ら全員はるきくんよりブサイクww存在価値ないブスどもwwwww」
与えられた発言の主張は、以下の命題 P を含意する。
P: 読者全員は、特定の個人 h よりも美的評価が低い。
集合 U を読者全体の集合、述語 B(x, y) を「x は y よりも美的評価が低い」という二項関係と定義すれば、命題 P は ∀x ∈ U, B(x, h) と形式化される。
この命題 P の真理値は、述語 B(x, y) の定義に依存する。美的評価は評価者の主観的基準に依拠するため、評価者 s をパラメータとする述語 B(s; x, y) として厳密に扱う。したがって、命題 P が普遍的真理として成立するための必要十分条件は、任意の評価者 s に対して ∀x ∈ U, B(s; x, h) が真となることである。これを命題 P' とする。
P': ∀s ∀x ∈ U, B(s; x, h)
以下、この命題 P' が偽であることを、その否定命題 ¬P' が真であることを示すことによって証明する。
¬P' ⇔ ∃s ∃x ∈ U, ¬B(s; x, h)
集合 U は定義上、空集合ではないため、少なくとも一つの要素 x₀ が存在する。個人は自己を評価する主体となりうるため、評価者として x₀ 自身を選定する。このとき、B(x₀; x₀, h) が真である、すなわち x₀ が自身の基準において h よりも美的評価が低いと判断することには、論理的必然性がない。
これは、¬B(x₀; x₀, h) が真となる可能性を排除できず、¬P' を満たす組 (s, x) = (x₀, x₀) が存在しうることを意味する。したがって、命題 ¬P' は真である。
¬P' が真であるため、P' は偽である。命題 P は普遍的真理として成立しないため、これを含意する元の発言の主張もまた、偽である。
証明終
酷いですね。
もうマスオTV観ません。
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¬ P'→ あるsにとっては、xはyよりも美的評価が低いと言い切れない可能性がある
なら「主観に基づく」という前提に基づいたら多分正しいと思うけど、
¬ P'→ あるsにとって、xはyよりも美的評価が低いと言い切れない場合がある
なら実際に具体例を出さない限りは正しいとは言えないような気もする(
あとわざわざ評価者sとxを同じにしなくても同じことが言えるような気もするかも(?)
>>1
間違ってたらごめんだけど、考えを述べさせていただく。
観測不可能な述語を含む命題に対しては、非構成的証明が妥当で、具体例は不要なんじゃないかと思う。
目標は、存在命題¬P': ∃s ∃x ∈ U, ¬B(s; x, h) が真であることを示すこと。
ある命題が充足可能であるとは、その命題を真とするようなモデル（所謂具体的な解釈や状況）が少なくとも一つ存在するってことを意味する。そして、論理的に矛盾を含まない命題は、充足可能であると保証されている。
¬B(x₀; x₀, h)という論理式を考える。美的評価に関する普遍的な公理系は存在しないので、この式から矛盾を導出することはできない。したがって、この式は無矛盾であり、充足可能である。
¬B(x₀; x₀, h)が充足可能であるという事実は、それを真とするモデルの存在を論理的に保証している。これは、∃s ∃x ∈ U, ¬B(s; x, h) が真であることを意味する。ゆえに、具体例なしに、存在証明は論理的にOK。
確かに。
シンプルに背理法でも良かったかも
>>4
ごめん、書き直す
「...可能性がある なら正しいと思うけど、
...場合がある なら具体例が必要なのでは？」
これは「論理的可能性」と「実際の存在」は違うのではないか、という問い。
結論から言うと、この証明では「論理的可能性」から「実際の（論理上の）存在」を導いている。
この証明は、背理法のような「仮定→矛盾」というステップを踏まずに、
全称命題 ∀ の証明のルールそのものを利用。
①証明の目標設定
目標は、命題P ∀x ∈ U, p(x) が「真ではない」ことを示すこと
②「真である」ための条件を考える
では逆に、命題Pが「真である」と証明されるためには、何が必要か。
それは、「集合Uの“全ての”要素xについて、p(x)が真でなければならない」ということ。
これは、たった一つでも例外（反例）があってはならない、非常に厳しい条件。
③例外（反例）が存在しうるかを検証
ここで、反例、すなわち ¬p(x) となる x が存在しうるかを考える。
・述語 p(x)：「xはhより美的評価が低い」
・この真偽は、客観的な事実ではなく、評価者の主観に依存する。
この「主観に依存する」という性質が、この証明の鍵
ある読者 x₀ を考えたとき、その x₀ が ¬p(x₀)、つまり「自分はhより下ではない」と判断する状況は、論理的に許されるか？
はい、許される。
なぜなら、p(x) は主観的な判断であり、「全ての人は、必ず特定の判断をしなければならない」というルールは存在しないから。
④結論
②で確認した通り、命題Pが真であるためには、例外は一つも許されない。
しかし③で確認した通り、述語 p(x) の「主観的」という性質上、例外（¬p(x₀)となるケース）が発生することを論理的に防ぐことができない。
例外が発生するのを防げない以上、「例外は一つもない」という条件を満たすことは不可能。
したがって、命題Pが「真である」と証明することは不可能。
証明問題において、真であることが証明できない命題は、「偽」と結論づけられる
要約すると、相手の「全員が〜だ」という強い主張（全称命題）を崩すために、俺は「いや、〜じゃない人がいるよ」という、その否定である「存在命題」を証明しようとしていた