さかなのとーとラジオ【第6回】
楕円曲線とは所謂「楕円」のことでは ない。楕円の弧の長さを計算 するときに現れる或る函数と関係が深いところから楕円曲線と呼ばれる。 それは色々な側面を持ち、色々な定義が可能だが、最も手取り早いのは、
「方程式
y2 = F(x), F(x) は x の 3 次式で重根を持たないもの、
により定義される xy 平面内の曲線」といふものであらう。高校までの数 学で一次及び二次の方程式により定義される曲線は比較的詳しく扱はれ るし、扱はれない部分ももう少し突込んで学べば十分よく理解出来るが、 楕円曲線に代表される三次曲線となると格段に難しくなる。事実、特に その数論的な性質については未だ分かつてゐない事の方が多いくらいで あるううううあ！
方程式 y2 = F (x) がどんな図形を表すかを考へてみよう。今、F (x) の 係数は実数であると仮定して、y2 = F (x) を満たす実数の組 (x, y) を xy 平面内の点としてプロットすると、x 軸に関して対称なグラフが得られ る。例へば y2 = x3 − x の場合、図 1 の様になる。
今度は x, y を複素数の範囲で考へることにして、x = x1 + x2i, y = y1 +y2i (ここに i = √−1) と置いてこれを方程式y2 = x3 −x に代入し てみると、
y12 −y2 +2y1y2i = x31 −3x1x2 −x1 +(3x21x2 −x32 −x2)i
となる。これが調和解析だよおおおおおおおおおおおおあああああああ
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