偏差値の性質

クラスで貴方だけがa点で他は全員b点だったときの貴方の偏差値を考えていきます！

定義

クラスには貴方とx人のクラスメートがいる

→クラスの人数はx+1人

クラス平均点・分散・標準偏差

平均点は(点数の合計)÷(人数)で求められます。

貴方(1人)がa点,他(x人)がb点でx+1人クラスなので

クラスの平均点は(a+bx)/(x+1)点となります。

分散は(「『各人の点数と平均点の差』の2乗」の合計)÷(人数)で求められます。

1人がa点,x人がb点,平均点が(a+bx)/(x+1)点なので

各人の点数と平均点の差の2乗の合計は

{a-(a+bx)/(x+1)}²+x{b-(a+bx)/(x+1)}²

=a²-2a(a+bx)/(x+1)+{(a+bx)/(x+1)}²+b²x-2bx(a+bx)/(x+1)+x{(a+bx)/(x+1)}²

=a²+b²x-2(a+bx){(a+bx)/(x+1)}+(1+x){(a+bx)/(x+1)}²

=a²+b²x-2(a+bx)²/(x+1)+(a+bx)²/(x+1)

=a²+b²x-(a+bx)²/(x+1) (点)

人数はx+1人なので、分散は

{a²+b²x-(a+bx)²/(x+1)}/(x+1)

={(a²+b²x)(x+1)-(a+bx)²}(x+1)²

=(a²x+b²x-2abx)/(x+1)²

=x(a-b)²/(x+1)² (点²)

標準偏差は√分散で求められます。

x,x+1は必ず0以上なので

a≧bのとき √(x(a-b)²/(x+1)²)=(a-b)(√x)/(x+1) (点)

a＜bのとき √(x(a-b)²/(x+1)²)=(b-a)(√x)/(x+1) (点)

貴方の偏差値は？

偏差値は10×(点数-平均点)÷標準偏差+50で求められます。

a≧bのとき、貴方の点数はa点、平均点は(a+bx)/(x+1)点、標準偏差は√x(a-b)/(x+1)点なので

貴方の偏差値をyとすると

y=10{a-(a+bx)/(x+1)}/{(a-b)(√x)/(x+1)}+50

=10{a(x+1)-(a+bx)}/{(a-b)(√x)}+50

=10(ax-bx)/{(a-b)(√x)}+50

=10√x+50

a＜bのときも同様にして y=10√x+50

結論

クラスで貴方がa点で他のx人は全員b点だったときの貴方の偏差値は(y=)10√x+50となります。

さらに、y=10√x+50を等式変形すると

x=1/100(y-50)² つまり x+1=1/100(y-50)²+1 となり

貴方以外のクラスメートが皆同じ点数の場合、貴方の偏差値がyのとき、クラスメートは(x+1=)1/100(y-50)²+1人であることも判明します。