私が思いついた偏差値の理論値の公式

【公式？】

偏差値x(x≦40,60≦x)の人が存在するために必要な人数をz人とするときの整数zの値がy≦z＜y+1であるとき、y={(1/10)x-5}^2+1

理由

この式を思い浮かべた原因は、xの値が10の倍数であるとき、z-1の値は平方数であると考えたからです。

xの値が10の倍数のとき、

(1/10)xの値が整数となり、

(1/10)x-5の値も整数となり、

{(1/10)x-5}^2の値は平方数になります。

y≦z＜y+1かつy={(1/10)x-5}^2+1、

つまりy-1≦z-1＜yかつy={(1/10)x-5}^2+1だから、

{(1/10)x-5}^2+1-1≦z-1＜{(1/10)x-5}^2+1+1-1

つまり{(1/10)x-5}^2≦z-1＜{(1/10)x-5}^2+1となり、

{(1/10)x-5}^2は平方数であり、

z-1が整数である場合は、z-1={(1/10)x-5}^2のときのみなので、

私はxの値が10の倍数であるとき、z-1の値は平方数であると考えました。

偏差値x(x≦40,60≦x)の人が存在するために必要な人数をz人とするときの整数zの値がy≦z＜y+1であるとき、y={(1/10)x-5}^2+1である

という命題は正しいと言い切れると思いますし、数値を当てはめても必ず正しかったですが、

この命題が正しいということは、現在の私には証明することができないので、

そこが非常に難しいところだと思います。

証明しようとした結果がこれです。

a点の人がx人、b点の人が1人いるとすると

平均点=(ax+b)/(x+1)点

分散

=[x{(ax+b)/(x+1)-a}^2+{(ax+b)/(x+1)}^2]/(x+1)

=[{(ax+b)/(x+1)}^2{(x+1)}-2{(ax+b)/(x+1)}(ax+b)+{(a^2)x+(b^2)}]/(x+1)

={(ax+b)/(x+1)}^2{(x+1)}/(x+1)-2{(ax+b)/(x+1)}(ax+b)/(x+1)+{(ax+b)(a+b)-ab(x+1)}/(x+1)

={(ax+b)^2}-2{(ax+b)^2}+{(ax+b)(a+b)/(x+1)}-ab

=-(ax+b)^2+{(a+b)/(x+1)}(ax+b)-ab

=-(ax+b){ax+b-(a+b)(x+1)}-ab

=……………？

標準偏差

=√-(ax+b){ax+b-(a+b)(x+1)}-ab

=……………？

これを見て分かる通り、証明をするのが極めて難しく、私も証明することができていません。

(上の式は途中までで終わっているので証明できていない)

ただ、この命題は正しいはずなので、

万が一間違っているのならば、反例または間違っていることの証明をしてくれたら嬉しいです。

※余談

40＜x＜60のとき、偏差値xの人が存在するために必要な人数をz人とするときの整数zの値は3となります。