中学校ってきついね
定積分 \displaystyle \int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx を求めよ。
\[ \int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx = \int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx + \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx \]
と分けて考える。
t = x^2 + 4 とおくと、 dt = 2xdx であり、 x : 0 \to 2 のとき t : 4 \to 8 だから、
\begin{align*} \int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}} dx &= \int_4^8 \frac{1}{\sqrt{t}} dt \\ &=[ 2 \sqrt{t} ]_4^8 = 4 \sqrt{2} - 4 \end{align*}
となる。
x = 2\tan \theta とおくと、 \displaystyle dx = \frac{2}{\cos^2 \theta }d \theta であり、 x : 0 \to 2 のとき、 \displaystyle \theta: 0 \to \frac{\pi}{4} であるから、
\begin{align*} \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{\tan^2 \theta + 1}} \cdot \frac{2}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &=\int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos \theta} d\theta \\ &=\int_0^\frac{\pi}{4} \frac{\cos \theta}{1 - \sin^2 \theta} d\theta \end{align*}
さらにここで t = \sin \theta とおくと、dt = \cos d\theta であり、 \displaystyle \theta : 0 \to \frac{\pi}{4} は \displaystyle t : 0 \to \frac{1}{\s